유리수

유리수는 분수 형태로 나타낼 수 있는 모든 수를 의미한다. 먼저 분수에 대한 개념을 이해 해보고 유리수의 연산에 대해서 배워보자.

분수는 두 개의 정수로 이루어져 있다. 예를 들어, \(1 \over 2\) 이라는 분수를 생각해보자. 이 분수는 1을 2로 나눈 값으로, 1을 2 등분한 부분 중 1 등분을 나타낸다.

이와 같이 유리수는 분수 형태로 표현할 수 있는 수로, 소수점 형태가 아닌 분수로 나타낼 수 있다. 예를 들어, \(3 \over 4\) 는 유리수이다.

그리고 유리수는 양의 정수와 음의 정수, 또는 0과 같은 정수 뿐만 아니라, 소수로 나누어진 수도 포함한다. 예를 들어, \(2 \over 3\)나 \(5 \over 8\)과 같은 분수도 모두 유리수이다.

또한, 유리수는 소수로 나타낼 수 있는데, 이 때 소수는 무한 소수일 수 있다. 예를 들어, \(2 \over 3\) 은 소수로 나타내면 0.3333...과 같이 무한히 반복되는 형태가 된다.

요약하자면, 유리수는 분수 형태로 나타낼 수 있는 모든 수를 포함하는 개념이며, 양의 정수, 음의 정수, 0, 그리고 소수로 나타낼 수 있는 수들이 모두 유리수라고 부른다.

용어정리

절댓값과 수직선

절댓값은 어떤 수와 그 수의 부호를 무시하고 0과 그 수의 거리만을 나타낸 값이다. 예를 들어, -3의 경우, -3의 크기를 나타내는 것이 아니라, 단순히 0에서 부터 3까지의 거리 의미한다. 간단히 말하자면 수직선상에서 해당 수가 0에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 것 임으로 음수는 존재할 수 없다.

예를 들어, 절댓값 |3|은 3과 0 사이의 거리로, 수직선상에서 3만큼 오른쪽에 위치한 점을 나타낸다. 마찬가지로, |-5|는 5와 0 사이의 거리로, 수직선상에서 5만큼 왼쪽에 위치한 점을 나타낸다. 절댓값은 수를 양수로 만드는 효과가 있고, 이를 통해 수의 크기를 파악할 때 유용하게 사용되므로 절댓값을 묻는 질문이라면 수의 크기보다는 거리를 연상하며 0부터 주어진 수의 거리를 떠올려보자.

유리수의 크기와 부등호

두가지 유리수의 크기를 비교하기위해 부등호를 사용하여 나타낼 수 있다.

• 크다(>)와 작다(<)
• a > b : 정수 a는 b보다 크다.
• a < b : 정수 a는 b보다 작다.
• 크거나 같다(≥)와 작거나 같다(≤)
• a ≥ b : 정수 a는 b보다 크거나 같다.
• a ≤ b : 정수 a는 b보다 작거나 같다.

예를 들어, 3>2는 3이 2보다 크다는 것을 의미한다. 마찬가지로, -5 < 0은 -5가 0보다 작다는 것을 나타낸다.

또한, 부등호는 수직선 상에서도 설명할 수 있다. 수직선에서 오른쪽으로 갈수록 수가 커지고, 왼쪽으로 갈수록 수가 작아지는데, 이를 이용하여 유리수의 크기를 파악할 수 있다. 예를 들어, 수직선 상에서 2 > -3은 2가 -3보다 오른쪽에 위치한다는 것을 의미한다.

유리수의 덧셈

유리수의 덧셈은 두 수를 합하는 연산이다.

1. 같은 부호의 수를 더하기

양수와 양수를 더하거나, 음수와 음수를 더할 때는 간단하다. 두 수의 크기를 더하고, 부호는 그대로 유지한다.

예: 2 + 3 = 5, -4 + (-2) = -6

2. 다른 부호의 수를 더하기

양수와 음수를 더할 때는 두 수의 차를 구한다다. 부호는 더 큰 수의 부호를 따른다.

예: 5 + (-3) = 2, (-8) + 6 = -2

3. 영(0)과의 덧셈

어떤 수든지 0과 더하면 그 수가 그대로 나온다.

예: 7 + 0 = 7, (-3) + 0 = -3

4. 덧셈의 교환법칙

덧셈은 교환법칙이 성립한다. 즉, 순서를 바꾸어도 결과는 같다.

예: a + b = b + a

이러한 간단한 규칙을 이용하여 유리수의 덧셈을 할 수 있다. 더하기는 수의 크기를 합치는 것이므로, 수직선 상에서 수를 이동하는 것으로 생각해도 이해하기 쉽다.

유리수의 뺄셈

유리수의 뺄셈은 두 수의 차이를 구하는 연산이다.

1. 같은 부호의 수를 빼기

양수에서 양수를 빼거나, 음수에서 음수를 빼는 경우에는 두 수의 차이를 구하고, 부호는 더 큰 수의 부호를 따른다.

예: 5 - 3 = 2, (-8) - (-2) = -6

2. 다른 부호의 수를 빼기

양수에서 음수를 빼는 경우에는 두 수의 합을 구한다. 부호는 첫 번째 수의 부호를 따른다.

예: 7 - (-3) = 10, (-5) - 2 = -7

3. 영(0)과의 뺄셈

어떤 수든지 0을 빼면 그 수가 그대로 나온다.

예: 9 - 0 = 9, (-2) - 0 = -2

4. 뺄셈의 교환법칙은 성립하지 않음

뺄셈은 교환법칙이 성립하지 않는다. 순서를 바꾸면 결과가 완전히 달라진다.

유리수의 뺄셈은 수의 크기 차이를 구하는 것으로 이해할 수 있다. 수직선 상에서는 빼려는 수만큼 이동하는 것으로 보다 쉽게 연상하며 생각할 수 있다.

유리수의 곱셈

유리수의 곱셈은 두 수를 곱하는 연산이다.

1. 양수와 양수의 곱셈

두 양수를 곱하면 양수가 나온다. 곱셈 결과의 크기는 두 수의 곱이며, 부호는 양수다.

예: 2 x 3=6, 4 x 7 = 28

2. 음수와 음수의 곱셈

두 음수를 곱하면 양수가 나온다. 곱셈 결과의 크기는 두 수의 곱이며, 부호는 양수다.

예: (-2) x (-3) = 6, (-4) x (-5) = 20

3. 양수와 음수의 곱셈

양수와 음수를 곱하면 음수가 나온다. 곱셈 결과의 크기는 두 수의 곱이며, 부호는 음수다.

예: 5 x (-2) = -10, (-3) x 8 = -24

4. 영(0)과의 곱셈

어떤 수든 0과 곱하면 결과는 항상 0이다.

예: 7 x 0 = 0, (-3) x 0 = -3

5. 곱셈의 교환법칙

곱셈은 교환법칙이 성립한다. 순서를 바꾸어도 결과는 같다.

예: a x b = b x a

이러한 기본 원리를 이용하여 유리수의 곱셈을 할 수 있다. 곱셈은 수직선 상에서는 수의 크기를 여러 번 더하는 것으로 이해할 수 있다.

유리수의 나눗셈

유리수의 나눗셈은 두 수를 나누어 몫을 구하는 연산이다.

1. 양수와 양수의 나눗셈

양수를 다른 양수로 나누면 양수의 결과가 나온다. 나눗셈 결과의 크기는 두 수를 나눈 몫이며, 부호는 양수다.

예: 8 ÷ 2 = 4, 15 ÷ 3 = 5

2. 음수와 음수의 나눗셈

음수를 다른 음수로 나누면 양수의 결과가 나온다. 나눗셈 결과의 크기는 두 수를 나눈 몫이며, 부호는 양수다.

예: (-10) ÷ (-2) = 5, (-20) ÷ (-4) = 5

3. 양수와 음수의 나눗셈

양수를 음수로 나누거나, 음수를 양수로 나눌 때는 나눗셈 결과의 크기는 두 수를 나눈 몫이며, 부호는 음수다.

예: 12 ÷ (-3) = -4, (-15) ÷ 5 = -3

4. 영(0)으로 나눗셈

0으로 나누는 것은 정의되지 않는다. 즉, 어떤 수든지 나눗셈이 불가능하다.

예: 7 x 0 = 0, (-3) x 0 = -3

5. 나눗셈의 교환법칙이 성립하지 않음

이러한 기본 원리를 이용하여 유리수의 나눗셈을 할 수 있다. 유리수의 나눗셈은 수의 크기를 나누어 몇 번이나 포함되는지 계산하는 것으로 이해할 수 있다.

유리수계산 쉽게 하는 방법

Tip: 아래 5가지 연산 순서를 떠올리며
많이 연습 해보자

1. 기본 연산 순서 기억하기

곱셈과 나눗셈은 덧셈과 뺄셈보다 먼저 계산된다. 따라서 괄호를 사용하여 원하는 계산의 우선순위를 조절해보자

2. 같은 부호의 수를 더하거나 빼기

양수와 양수, 음수와 음수를 더하거나 빼면 계산이 쉬워진다. 부호가 다를 경우에는 두 수의 차를 구하면 된다.

3. 10의 배수 활용

10의 배수는 계산이 간단하므로, 가능한 경우 10의 배수를 활용하여 계산을 수월하게 할 수 있다.

4. 괄호 활용

괄호를 사용하여 계산 순서를 명확하게 하고, 복잡한 식을 단순화할 수 있다.

5. 쉬운 계산부터 시작

계산을 시작할 때 쉬운 부분부터 먼저 처리하면 전체 계산이 더욱 효율적으로 진행된다.

이러한 기본적인 원칙을 기억하고 자수 연습한다면 정수 계산이 더욱 쉬워질 것이다.