1단원: 문자의 사용과 식의 계산

1. 문자를 사용하는 이유

여러분, 수학에서 왜 a, x, y 같은 문자를 사용할까요? 🤔

예를 들어, "어떤 수에 3을 더하면 10이 된다"라는 말을 숫자로만 표현하기는 어려워요. 하지만 문자를 사용하면 x + 3 = 10처럼 간단하고 명확하게 쓸 수 있답니다!

📈 문자 사용의 장점

💫 간단함: 복잡한 상황을 짧게 표현
🔄 일반성: 여러 경우를 한 번에 나타냄
🎯 명확성: 수학적 관계를 정확히 표현
🔍 논리성: 체계적인 사고 가능

🌍 실생활 예시

🛒 쇼핑: 사과 x개의 가격 = 1000x원
🚗 여행: 시속 v로 t시간 = vt km
📐 도형: 정사각형 넓이 = a²
🎂 나이: 5년 후 나이 = x + 5살

💡 문자(文字)의 한자 뜻풀이

文

글월 문
글, 글자

字

글자 자
글자, 기호

문자(文字) = "글자"라는 뜻으로, 수를 대신하는 기호

2. 문자와 식의 기본 개념

📝 식(式)의 한자 뜻풀이

式

법 식
법칙, 방법, 형식

식(式) = "법칙이나 관계를 나타내는 형식"이라는 뜻

식이란 수와 문자를 연산 기호(+, -, ×, ÷)로 이어서 만든 것이에요. 마치 수학의 언어 같은 거죠! 📚

✅ 식의 예

3x + 5
2a - 7b
x² + 3x - 1
5 (상수도 식이에요!)

❌ 식이 아닌 것

x + = 5 (연산 기호만 있음)
3 + + 2 (연산 기호 중복)
x = y + 3 (등식이에요)
x > 5 (부등식이에요)

🔤 문자 사용 규칙

곱셈 표시

3 × x → 3x
a × b → ab
x × x → x²

나눗셈 표시

a ÷ 3 → a/3
x ÷ y → x/y
1 ÷ x → 1/x

🎯 문자 선택 관례

일반적인 수

a, b, c, x, y, z

특별한 의미

t(시간), v(속력), r(반지름)

자연수

m, n

3. 식의 값 구하기

식의 값이란 문자에 특정한 수를 대입했을 때 나오는 결과값이에요. 마치 문자라는 상자에 숫자를 넣어서 답을 구하는 것과 같아요! 📦

🔢 대입(代入)의 한자 뜻풀이

代

대신할 대
바꾸다, 대신하다

入

들 입
들어가다, 넣다

대입(代入) = "대신 넣는다"는 뜻으로, 문자 자리에 수를 넣는 것

📝 예제 1: 3x + 5에서 x = 2일 때

3x + 5

주어진 식

3 × 2 + 5

x = 2 대입

6 + 5

곱셈 먼저 계산

답!

📝 예제 2: 2a - 3b에서 a = 4, b = 1일 때

2a - 3b

주어진 식

2 × 4 - 3 × 1

a = 4, b = 1 대입

8 - 3

각각 계산

답!

📝 예제 3: x²+ 2x - 1에서 x = 3일 때

x² + 2x - 1

주어진 식

3² + 2 × 3 - 1

x = 3 대입

9 + 6 - 1

제곱과 곱셈 먼저

답!

⚡ 계산 순서 (연산의 우선순위)

괄호 ( )
지수 (제곱, 세제곱 등)
곱셈, 나눗셈 (왼쪽부터)
덧셈, 뺄셈 (왼쪽부터)

4. 항과 계수

📚 항(項)의 한자 뜻풀이

項

항 항
낱낱의 조건, 항목

식에서 + 또는 -로 이어진 각각의 부분

📚 계수(係數)의 한자 뜻풀이

係

맬 계

數

수 수

문자에 매어진 수

식 3x + 2y - 5를 예로 들어 항과 계수를 알아보겠어요! 🔍

🔬 식의 분석: 3x + 2y - 5

첫 번째 항

계수: 3
문자: x

두 번째 항

+2y

계수: 2
문자: y

세 번째 항

-5

상수항
(문자가 없음)

📝 예제 1: 다음 식에서 x의 계수를 구하세요

5x + 3

x의 계수: 5

-2x + 7

x의 계수: -2

x - 4

x의 계수: 1 (생략됨)

3 - x

x의 계수: -1 (생략됨)

📝 예제 2: 다음 식의 항의 개수와 상수항을 구하세요

2x² - 3x + 7

2x²

1차항

-3x

2차항

상수항

답: 항의 개수 3개, 상수항 7

💡 항과 계수 찾기 팁

항: + 또는 - 기호로 나누어진 각 부분
계수: 문자 앞에 붙은 수 (1이나 -1은 보통 생략)
상수항: 문자가 포함되지 않은 항
차수: 문자의 지수 (x²는 2차, x³는 3차)

5. 동류항과 정리

📚 동류항(同類項)의 한자 뜻풀이

同

같을 동

類

무리 류

項

항 항

동류항(同類項) = "같은 무리의 항"이라는 뜻

동류항이란 문자의 종류와 차수가 같은 항들을 말해요. 마치 같은 종류의 과일끼리 모으는 것과 같답니다! 🍎🍎 + 🍌🍌

✅ 동류항의 예

3x와-5x✓
2y와7y✓
x²와4x²✓
5와-3✓

❌ 동류항이 아닌 예

3x와2y✗
x와x²✗
ab와a²✗
3x와5✗

📝 예제 1: 동류항끼리 모으기

3x + 5y - 2x + 4

동류항끼리 모으면:

(3x - 2x) + 5y + 4

= x + 5y + 4

📝 예제 2: 복잡한 식 정리하기

2x² + 3x - x² + 5x - 7

주어진 식

(2x² - x²) + (3x + 5x) - 7

동류항끼리 모으기

x² + 8x - 7

정리 완료!

📝 예제 3: 계수가 분수인 경우

½x + ¼x - ⅓

주어진 식

(½ + ¼)x - ⅓

x의 동류항 모으기

(2/4 + 1/4)x - ⅓

통분하기

¾x - ⅓

답!

🎯 동류항 정리 단계

같은 문자와 같은 차수를 찾기
동류항끼리 모으기 (괄호 사용)
계수끼리 계산하기
차수 순으로 정리하기 (높은 차수부터)

6. 식의 덧셈과 뺄셈

식의 덧셈과 뺄셈은 동류항끼리만 계산할 수 있어요. 마치 사과는 사과끼리, 바나나는 바나나끼리 더하는 것과 같답니다! 🍎➕🍎 = 🍎🍎

📝 예제 1: 기본 덧셈

(2x + 3) + (4x + 5)

= 2x + 3 + 4x + 5

= (2x + 4x) + (3 + 5)

= 6x + 8

(3x² + 2x) + (x² - 4x + 1)

= 3x² + 2x + x² - 4x + 1

= (3x² + x²) + (2x - 4x) + 1

= 4x² - 2x + 1

📝 예제 2: 기본 뺄셈

⚠️ 주의: 뺄셈할 때는 모든 항의 부호가 바뀝니다!

A - B = A + (-B)

(5x + 7) - (2x + 3)

= 5x + 7 - 2x - 3

= (5x - 2x) + (7 - 3)

= 3x + 4

(2x² - 3x + 1) - (x² + x - 4)

= 2x² - 3x + 1 - x² - x + 4

= (2x² - x²) + (-3x - x) + (1 + 4)

= x² - 4x + 5

📝 예제 3: 복합 계산

(3x + 2) + (x - 5) - (2x - 1)

주어진 식

3x + 2 + x - 5 - 2x + 1

괄호 풀기

(3x + x - 2x) + (2 - 5 + 1)

동류항끼리 모으기

2x - 2

답!

📝 예제 4: 여러 문자가 있는 경우

(2x + 3y) + (4x - y) - (x + 2y)

주어진 식

2x + 3y + 4x - y - x - 2y

괄호 풀기

(2x + 4x - x) + (3y - y - 2y)

문자별로 모으기

5x + 0y = 5x

답!

📋 식의 덧셈과 뺄셈 순서

괄호 풀기 (뺄셈 시 부호 변경 주의!)
동류항끼리 모으기
계수끼리 계산하기
차수 순으로 정리하기

7. 식의 곱셈과 나눗셈

📚 곱셈(乘法)의 한자 뜻풀이

乘

탈 승

法

법 법

곱하는 방법

📚 나눗셈(除法)의 한자 뜻풀이

除

나눌 제

法

법 법

나누는 방법

식의 곱셈과 나눗셈은 조금 더 복잡하지만, 차근차근 규칙을 따라하면 쉬워져요! 🧮

📝 수와 식의 곱셈 (분배법칙)

수에 식을 곱할 때는 분배법칙을 사용해요! 각 항에 똑같이 곱해주면 됩니다.

3 × (2x + 5)

= 3 × 2x + 3 × 5

= 6x + 15

-2 × (3x - 4)

= -2 × 3x + (-2) × (-4)

= -6x + 8

📝 문자와 문자의 곱셈 (지수법칙)

같은 문자끼리 곱하면 지수법칙을 사용해요! 지수를 더해주면 됩니다.

같은 문자끼리

x × x = x¹⁺¹ = x²

x² × x = x²⁺¹ = x³

2x × 3x = 2×3×x¹⁺¹ = 6x²

다른 문자끼리

x × y = xy

2a × 3b = 6ab

x² × y = x²y

📝 예제 1: 단항식과 다항식의 곱셈

2x × (3x + 4)

주어진 식

2x × 3x + 2x × 4

분배법칙 적용

6x² + 8x

답!

📝 예제 2: 복잡한 곱셈

-3y × (2x - 5y + 1)

주어진 식

-3y×2x + (-3y)×(-5y) + (-3y)×1

각 항에 분배

-6xy + 15y² - 3y

답!

📝 식의 나눗셈

식을 수로 나눌 때는 각 항을 따로따로 나누어 주세요!

(6x + 9) ÷ 3

= 6x ÷ 3 + 9 ÷ 3

= 2x + 3

(4x² - 8x + 12) ÷ 4

= 4x² ÷ 4 - 8x ÷ 4 + 12 ÷ 4

= x² - 2x + 3

📝 예제 3: 문자로 나누기

(6x² + 4x) ÷ 2x

주어진 식

6x² ÷ 2x + 4x ÷ 2x

각 항을 나누기

3x + 2

답!

⚡ 곱셈과 나눗셈 공식

곱셈 공식

a × (b + c) = ab + ac (분배법칙)
xᵐ × xⁿ = xᵐ⁺ⁿ (지수법칙)
axᵐ × bxⁿ = ab·xᵐ⁺ⁿ

나눗셈 공식

(a + b) ÷ c = a÷c + b÷c
xᵐ ÷ xⁿ = xᵐ⁻ⁿ (m > n)
axᵐ ÷ bxⁿ = (a÷b)·xᵐ⁻ⁿ

8. 실생활 활용

이제 배운 문자와 식을 실생활에서 어떻게 활용할 수 있는지 알아볼까요? 우리 주변에는 정말 많은 문자식이 숨어있어요! 🌍

🛒 쇼핑과 소비

문제 1: 과일 가게

사과 1개에 800원, 바나나 1개에 500원입니다. 사과 x개와 바나나 y개를 사는데 드는 총 비용을 식으로 나타내보세요.

총 비용 = 800x + 500y (원)

문제 2: 할인 계산

정가가 a원인 상품을 20% 할인받을 때 지불해야 할 금액을 구해보세요.

지불 금액 = a - 0.2a = 0.8a (원)

🚗 교통과 여행

문제 3: 여행 거리

시속 v km로 t시간 동안 달릴 때의 이동 거리를 구해보세요.

이동 거리 = vt (km)

문제 4: 택시 요금

기본요금 3000원, 1km당 1000원인 택시를 x km 탔을 때의 요금은?

택시 요금 = 3000 + 1000x (원)

📐 도형과 측정

정사각형

한 변의 길이가 a인 정사각형

둘레 = 4a

넓이 = a²

직사각형

가로 a, 세로 b인 직사각형

둘레 = 2(a + b)

넓이 = ab

원

반지름이 r인 원

둘레 = 2πr

넓이 = πr²

⏰ 시간과 나이

문제 5: 나이 계산

현재 나이가 x살인 사람의 5년 후, 3년 전 나이를 구해보세요.

5년 후 나이: x + 5 (살)

3년 전 나이: x - 3 (살)

문제 6: 가족 나이 합

아버지 나이가 a살, 어머니 나이가 b살, 아들 나이가 c살일 때 가족 나이의 합은?

가족 나이 합 = a + b + c (살)

💰 경제와 저축

문제 7: 용돈 저축

매달 3만원의 용돈 중 x원을 저축할 때, n개월 후 저축한 금액은?

저축 금액 = nx (원)

문제 8: 단순 이자

원금 P원을 연 이율 r%로 t년간 예금할 때의 이자는?

이자 = P × r × t ÷ 100 (원)

🎓 활용(活用)의 한자 뜻풀이

活

살 활
살리다, 움직이다

用

쓸 용
사용하다

활용(活用) = "살려서 쓴다"는 뜻으로, 배운 것을 실생활에 적용하는 것

🌟 문자와 식 활용의 핵심

문자와 식은 복잡한 실생활 상황을 간단하고 명확하게 표현할 수 있는 수학의 언어예요. 처음엔 어려워 보일 수 있지만, 계속 연습하다 보면 일상생활 곳곳에서 수학적 관계를 발견하고 문제를 해결하는 재미를 느낄 수 있을 거예요! 여러분도 이제 수학의 언어를 구사할 수 있는 멋진 수학자가 되었답니다! 🎉

수학교실

학습 팁

1단원: 문자의 사용과 식의 계산

1. 문자를 사용하는 이유

📈 문자 사용의 장점

🌍 실생활 예시

💡 문자(文字)의 한자 뜻풀이

2. 문자와 식의 기본 개념

📝 식(式)의 한자 뜻풀이

✅ 식의 예

❌ 식이 아닌 것

🔤 문자 사용 규칙

곱셈 표시

나눗셈 표시

🎯 문자 선택 관례

일반적인 수

특별한 의미

자연수

3. 식의 값 구하기

🔢 대입(代入)의 한자 뜻풀이

📝 예제 1: 3x + 5에서 x = 2일 때

📝 예제 2: 2a - 3b에서 a = 4, b = 1일 때

📝 예제 3: x²+ 2x - 1에서 x = 3일 때

⚡ 계산 순서 (연산의 우선순위)

4. 항과 계수

📚 항(項)의 한자 뜻풀이

📚 계수(係數)의 한자 뜻풀이

🔬 식의 분석: 3x + 2y - 5

첫 번째 항

두 번째 항

세 번째 항

📝 예제 1: 다음 식에서 x의 계수를 구하세요

📝 예제 2: 다음 식의 항의 개수와 상수항을 구하세요

💡 항과 계수 찾기 팁

5. 동류항과 정리

📚 동류항(同類項)의 한자 뜻풀이

✅ 동류항의 예

❌ 동류항이 아닌 예

📝 예제 1: 동류항끼리 모으기

📝 예제 2: 복잡한 식 정리하기

📝 예제 3: 계수가 분수인 경우

🎯 동류항 정리 단계

6. 식의 덧셈과 뺄셈

📝 예제 1: 기본 덧셈

(2x + 3) + (4x + 5)

(3x² + 2x) + (x² - 4x + 1)

📝 예제 2: 기본 뺄셈

⚠️ 주의: 뺄셈할 때는 모든 항의 부호가 바뀝니다!

(5x + 7) - (2x + 3)

(2x² - 3x + 1) - (x² + x - 4)

📝 예제 3: 복합 계산

📝 예제 4: 여러 문자가 있는 경우

📋 식의 덧셈과 뺄셈 순서

7. 식의 곱셈과 나눗셈

📚 곱셈(乘法)의 한자 뜻풀이

📚 나눗셈(除法)의 한자 뜻풀이

📝 수와 식의 곱셈 (분배법칙)

3 × (2x + 5)

-2 × (3x - 4)

📝 문자와 문자의 곱셈 (지수법칙)

같은 문자끼리

다른 문자끼리

📝 예제 1: 단항식과 다항식의 곱셈

📝 예제 2: 복잡한 곱셈

📝 식의 나눗셈

(6x + 9) ÷ 3

(4x² - 8x + 12) ÷ 4

📝 예제 3: 문자로 나누기

⚡ 곱셈과 나눗셈 공식

곱셈 공식

나눗셈 공식

8. 실생활 활용

🛒 쇼핑과 소비

문제 1: 과일 가게

문제 2: 할인 계산

🚗 교통과 여행

문제 3: 여행 거리

문제 4: 택시 요금

📐 도형과 측정

정사각형